数学二考研真题，2023数学二考研真题
大家好！本文和大家分享一道2015年江苏高考数学真题。这道题考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、弦长公式、两点间距离公式等知识。本题第一问的难度不大，属于基础题，但是第二问却难住不少同学。
先看第一小问：求椭圆方程。
求椭圆方程只需要求出a、b、c的值即可，而由于椭圆中隐藏有a^2=b^2+c^2，所以只需要再找出两个条件即可。由题意知，e=√2/2，即c/a=√2/2。
又右焦点F到左准线的距离为3，而右焦点的坐标也(c,0)，左准线的方程为x=-a^2/c，所以就有c+a^2/c=3。联立就可以解出a、b、c的值，从而得到椭圆的标准方程。
再看第二小问：求直线AB的方程。
第二小问是一道综合题，考查的知识点比较多，而且计算量也比较大，所以这一问难住了不少同学。
由于直线AB过点F(1,0)，所以不少同学上来就直接设直线AB的方程为y=k(x-1)。这样的解题过程是有问题，直线点斜式方程适用的条件是直线斜率必须存在，但是从题意我们并不能直接判断直线AB的斜率是否存在，所以需要分为直线斜率不存在和存在两种情况进行讨论。
当直线AB的斜率不存在时，也就是直线AB与x轴垂直，此时直线AB的方程为：x=1，线段AB=√2，此时PC=3，与PC=2AB不合。
当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=k(x-1)，且A(x1,y1)、B(x2,y2)。然后联立直线AB和椭圆方程，消去y，整理后得到：(1+2k^2)x^2-4k^2x+2(k^2-1)=0。于是根据韦达定理可得：x1+x2=(4k^2)/(1+2k^2)，x1x2=2(k^2-1)/(1+2k^2)。所以，根据弦长公式可以得到： AB =2√2(1+k^2)/(1+2k^2)。
由题意知，点C为线段AB的中点，所以根据中点坐标公式得：C(2k^2/(1+2k^2),-k/(1+2k^2))。当k=0时，线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线没有交点，不合题意。当k≠0时，先求出直线PC的方程为y+k/(1+2k^2)=(-1/k)[x-2k^2/(1+2k^2)]，从而得到P(-2,(5k^2+2)/k(1+2k^2)]，从而根据两点间距离公式求出PC的长。最后由PC=2AB建立一个关于k的方程，解出k，再代入所设的直线方程即可。
这道题的难度实际上并不大，属于比较常规的一道题，但是第二问的计算量大，这也是圆锥曲线大题的一个特点，所以大家在计算过程中一定要细心，避免无谓的丢分。
数学二考研参考(2023数学二考研参考)